一、对称加密and非对称加密
对称加密是密码学中的一类加密算法。这类算法在加密和解密时使用相同的密钥，或是使用两个可以简单地相互推算的密钥。实务上，这组密钥成为在两个或多个成员间的共同秘密，以便维持专属的通讯联系。与公开密钥加密相比，要求双方取得相同的密钥是对称密钥加密的主要缺点之一。
非对称加密，一种密码学算法类型，在这种密码学方法中，需要一对密钥(其实这里密钥说法不好，就是“钥”)，一个是私人密钥，另一个则是公开密钥。这两个密钥是数学相关，用某用户密钥加密后所得的信息，只能用该用户的解密密钥才能解密。如果知道了其中一个，并不能计算出另外一个。因此如果公开了一对密钥中的一个，并不会危害到另外一个的秘密性质。称公开的密钥为公钥；不公开的密钥为私钥。
二、RSA简介
RSA算法是非对称加密算法，这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解（本质上是对大数的质因数分解很难）。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
三、相关数学概念
1.素数
素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。 如：2，3，5，7，11，13…
2.互素
互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。
3.欧拉函数
欧拉函数 φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目 如果n = 1, φ(1) = 1；(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)； 如果n为质数，φ(n) = n - 1；因为质数和每一个比它小的数字都互质。比如5，比它小的正整数1,2,3,4都和他互质； 若m,n互质，则φ(mn) = φ(m)φ(n)
4.模运算
模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。
两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。
5.模逆元（模反元素）
一整数a对同余n之模逆元是指满足以下公式的整数b：
ab ≡ 1 (mod n)
整数 a 对模数 n 之模逆元存在的充分必要条件是 a 和 n 互素。
6.欧拉定理
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
a^φ(n) ≡ 1(mod n)
根据这个定理以及模逆元的概念，可得a的φ(n)-1次方肯定是a关于n的模反元素。
所以a关于n的模反元素必然存在。 比如，3和5互质，而5的欧拉函数φ(5)等于4，所以3的4次方*(81)减去1，可以被5整除（80/5=16）。
四、算法过程
1.公钥与密钥的产生
假设A想要通过一个不可靠的媒体接收B的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：
获取N: 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq；
获取r: 根据欧拉函数r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)；
选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质，即求 e^(φ(r)-1) ）。
(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。A将她的公钥(N,e)传给B，私钥(N,d)自己保存。
2.加密消息
假设B想给A送一个消息message，他知道A产生的公钥（N，e）。 于是B先将message转换为一个小于N的整数m。（如果是字符串可以取ascii值或unicode值；假如信息非常长，可以将分为几段，然后将每一段转换为m） 用下面这个公式他可以将m加密为c：
m^e ≡ c (mod N)
B算出c后就可以将它传递给A。
3.解密消息
A得到B的消息c后就可以利用她的密钥（N, d）来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为m：
c^d ≡ m (mod N)
得到m后，她就可以将原来的信息message重新复原。
4.安全性
即使是在用户已经获取到公钥(N, e)的情况下，需要解开密文需要哪些步骤：
如果想知道 d 需要知道欧拉函数 φ(n)的结果(即上文中提到的r = φ(N))；
如果想知道欧拉函数 φ(n) 需要知道 p 和 q；
要知道 p 和 q 需要对 N 进行质因数分解。
五、RSA相关练习
题目提示RSA，求出私钥即可：
φ(N)=φ( p )φ( q )=(p-1)(q-1)
ed ≡ 1 (mod φ(N))
所以ed=φ(N)+1，即17d=(p-1)(q-1)+1=473398607160*4511490+1
计算机拿出来，计算一下即可：
